Zauważmy, że w omówionym przykładzie obraz f([x₁, x₂]) dowolnego wektora [x₁, x₂] można zapisać w postaci macierzowej jako:

Przedstawimy teraz ogólną metodę znajdowania obrazu wektorów w przekształceniu liniowym. W pierwszym kroku określamy w jaki sposób transformują się wektory bazowe. Będzie to podstawą do określenia wartości przekształcenia liniowego dla dowolnego wektora z danej przestrzeni.

Niech baza B₁ przestrzeni liniowej U składa się z wektorów:

e₁, e₂, ..., e_n

i baza B₂ przestrzeni V składa się z wektorów:

h₁, h₂, ..., h_m.

Określamy przekształcenia wektorów bazowych jako:

f (e₁) = w₁, f (e₂) = w₂ , ..., f (e_n) = w_n.

Dowolny wektor v Î U wyrażamy za pomocą wektorów bazowych bazy B₁:

.

Współrzędne wektora w_j w bazie B₂ oznaczymy przez [ w_1j, w_2j, ..., w_mj ]:

Wówczas:

Tak więc współrzędne wektora f ( v ) w bazie B₂ przestrzeni V maja postać:

gdzie w macierzy powyżej współrzędne wektorów w₁, w₂,..., w_n są ustawione w kolumnach.

Konstrukcja macierzy przekształcenia

Niech f oznacza przekształcenie liniowe.

Krok 1. Znajdujemy obrazy wektorów bazowych bazy B₁:

f (e₁) = w₁, f (e₂) = w₂ , ..., f (e_n) = w_n.

Krok 2. Tworzymy macierz A_f przez wpisanie współrzędnych wektora w_i w i - tej kolumnie macierzy.

Krok 3. Współrzędne wektora f ( v ) w bazie B₂ są równe:

gdzie [ v₁, v₂, ..., v_n ] są współrzędnymi wektora v w bazie B₁.

Uwaga

Jeżeli U = Rⁿ, V = R^m i w obu przestrzeniach rozpatrujemy bazy kanoniczne, to A_f =[w₁, w₂,..., w_n], gdzie w_i = f ( e_i ) jest zapisany jako i - ta kolumna oraz f ( v ) = A_f × v, dla v Î Rⁿ.

Jeżeli przy podaniu macierzy przekształcenia nie podane są bazy odpowiednich przestrzeni oznacza to, że rozpatrywane są odpowiednie bazy kanoniczne.

Przekształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez podanie macierzy przekształcenia liniowego dla ustalonych baz przestrzeni U i V. Okazuje się poza tym, że własności przekształceń liniowych można interpretować w terminach macierzy tego przekształcenia.

Przykład - macierz obrotu w R².

Przekształcenie, w którym znajdujemy obraz punktu powstały w wyniku jego obrotu o kąt a, jest opisane wzorem:

Zatem, macierz obrotu o kąt a ma postać:

Zauważmy, że det A_f =1, zatem rząd A_f = 2. Wynika to z tego, że obrazem przestrzeni R² jest przy obrocie jest cała przestrzeń R².

Uwaga

Jeżeli f jest przekształceniem liniowym określonym na wektorach w Rⁿ o wartościach będących wektorami z R^m, to macierz A_f jest wymiaru m x n.