następny punkt »


1. METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH NIEJEDNORODNYCH RZĘDU PIERWSZEGO

Będziemy rozważać zdefiniowane w wykładzie XI równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego tzn. równanie postaci

gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), i funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale. Nazywamy je wówczas równaniem niejednorodnym (RN).

Rozwiązywanie równania niejednorodnego jest realizowane w dwóch etapach. W pierwszym rozwiązujemy odpowiadające mu równanie jednorodne (tzn. równanie, które otrzymujemy kładąc f(x) º 0). Stosujemy w tym celu metodę rozdzielenia zmiennych, bądź korzystamy z wzoru (zobacz wykład XI) określającego całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. W etapie drugim stosujemy metodę uzmiennienia stałej, lub metodę przewidywań.

Metoda uzmiennienia stałej

W metodzie tej opieramy się na całce ogólnej równania jednorodnego (CORJ), która ma zawsze postać

gdzie P(x) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji p(x).

Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) wyraża się podobnym wzorem, z tą różnicą, że zamiast stałej C występuje w nim pewna funkcja zmiennej x. Aby ją znaleźć, zastępujemy stałą C nieznaną funkcją, którą oznaczamy C(x) (nazywamy to uzmiennieniem stałej), a następnie staramy się dobrać ją tak, by wzór

definiował rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.

Procedura wyznaczania funkcji C(x) przedstawia się następująco.

Różniczkujemy ostatnią równość

i wstawiamy do RN otrzymując

Redukując wyrazy podobne dostajemy

czyli

Stąd

gdzie F jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP.

Jest to szukana funkcja C(x). Zatem całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) ma postać

Zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie

Jeżeli p i f są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b) to

  1. CORN jest postaci

    gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b), zaś F jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP ,

  2. dla każdego x0Î (a, b) i y0Î (-¥, ¥) zagadnienie Cauchy'ego

    ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład

Rozwiążemy równanie

Jest to równanie liniowe niejednorodne.

Wyznaczamy CORJ

Ma ona postać

Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej.

Szukamy rozwiązania w postaci

Różniczkując ostatnią równość dostajemy

Wstawiając do równania niejednorodnego mamy

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy

Stąd

Czyli

Zatem CORN jest równa

Pytanie kontrolne 12.1

Metodą uzmiennienia stałej wyznacz CORN

Zobacz odpowiedź

Przykład

Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego

Wyznaczamy CORJ

Mamy

Stąd CORJ

Wobec dowolności C możemy CORJ zapisać równoważnie

Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej.

Szukamy rozwiązania w postaci

Różniczkując ostatnią równość dostajemy

Wstawiając do równania niejednorodnego mamy

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy

Całkując dostajemy

Zatem CORN jest równa

Wyznaczamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(p ) = 0.

Stąd C2 = -2p i całka szczególna będąca rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest równa

Pytanie kontrolne 12.2

Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego

Zobacz odpowiedź

Metoda przewidywań

Metoda przewidywań całkowania równania niejednorodnego

opiera się na następującym twierdzeniu.

Twierdzenie

Suma całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego jest całką ogólną równania niejednorodnego.

W skrócie twierdzenie to można zapisać

CORN = CORJ + CSRN

W metodzie tej CORJ wyznaczamy tak jak poprzednio, zaś postać CSRN "odgadujemy" bazując na doświadczeniach zdobytych przy całkowaniu pewnych klas równań.

Odgadnięcie CSRN jest stosunkowo proste jeżeli:

W każdym z wymienionych przypadków całkę szczególną równania niejednorodnego należy przewidzieć w tej samej postaci co f(x), zachowując odpowiednio: stopień wielomianu, liczbę w oraz liczbę b.

W miejsce pozostałych stałych (współczynniki wielomianu, a , b oraz a) przyjmuje się stałe nieokreślone. Ich wartości są precyzowane po wstawieniu przewidywanej funkcji do równania niejednorodnego

Zanim zastosujemy prezentowaną metodę do rozwiązania przykładowych zadań podkreślmy, że w przeciwieństwie do metody uzmiennienia stałej, nie jest ona metodą uniwersalną. Natomiast w wymienionych wyżej przypadkach jest zazwyczaj prostsza rachunkowo.

Przykład

Stosując metodę przewidywań znajdziemy całkę ogólną równania

W równaniu tym p(x) º 4 (jest funkcją stałą), zaś f(x) = x3 (jest wielomianem).

Wyznaczamy CORJ

CORJ ma postać

Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań

Ponieważ

więc CSRN przewidujemy w postaci wielomianu stopnia trzeciego, tzn.

Stąd

Wstawiając do równania dostajemy

czyli

Równość ta będzie spełniona dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy będzie spełniony układ równań

Stąd

Zatem funkcja

jest szukaną CSRN, czyli

jest rozwiązaniem ogólnym równania

.

Pytanie kontrolne 12.3

Stosując metodę przewidywań wyznacz całkę szczególną równania

spełniającą warunek początkowy y(0) = 2.

Zobacz odpowiedź

Uwaga

Gdy prawa strona równania jest funkcją sinus bądź cosinus, rozwiązanie równania zawsze przewidujemy w postaci kombinacji tych funkcji, jak to pokazuje poniższy przykład.

Przykład

Wyznaczymy całkę ogólną równania

Wyznaczamy CORJ

Całka ogólna równania jednorodnego (p(x)º 3)

Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań

Rozwiązanie równania niejednorodnego

przewidujemy w postaci kombinacji funkcji sin3x oraz cos3x, czyli

Wstawiając do równania mamy

Otrzymany warunek ma być spełniony dla każdego x, stąd

A zatem:

Całką szczególną równania niejednorodnego (CSRN)

jest więc funkcja

Ostatecznie CORN ma postać

Przy rozwiązywaniu równań metodą przewidywań użyteczne bywa następujące twierdzenie.

Twierdzenie

Suma całki szczególnej równania

i całki szczególnej równania

jest całką szczególną równania

Twierdzenie to stosujemy, gdy funkcje f1 i f2 są różnych typów. Niezależne wyznaczanie całek szczególnych dla każdego z równań jest bowiem prostsze rachunkowo.

Przykład

Wykorzystując podane twierdzenie wyznaczymy całkę ogólną równania

W pytaniu kontrolnym 12.3 zostały wyznaczone CORJ, która jest równa

oraz całka szczególna równania niejednorodnego

Ma ona postać

Dla znalezienia CORN wystarczy zatem wyznaczyć całkę szczególną równania

Zastosujemy metodą przewidywań szukając rozwiązania w postaci

Po obliczeniu pochodnej

i wstawieniu do równania mamy

Stąd

Czyli A = 1/2, B = -1/2, zatem rozwiązanie ma postać

Ostatecznie szukaną CORN jest funkcja

Poza równaniami różniczkowymi rzędu pierwszego, największe znaczenie praktyczne mają równania rzędu 2. Równania wyższych rzędów spotyka się znacznie rzadziej. Przy rozwiązywaniu równań wyższych rzędów zazwyczaj wykorzystuje się ich specyficzne cechy, bądź stosuje metody przybliżone. W przypadku równań liniowych, metody rozwiązywania są uogólnieniem technik opracowanych dla równań rzędu pierwszego.


 następny punkt »