Rezonans pojawia się w każdym obwodzie elektrycznym dla pulsacji przy której reaktancja wypadkowa obwodu X(w ) lub susceptancja wypadkowa B(w ) obwodu jest równa zeru. Warunkiem koniecznym powstania rezonansu jest jednoczesne występowanie w obwodzie elementów reaktancyjnych: indukcyjności i pojemności.

W tym przypadku występuje kompensacja reaktancji indukcyjnej X_L z reaktancją pojemnościową X_C i reaktancja całkowita jest równa zero

Rys.4.10. Szeregowy obwód rezonansowy

Rys.4.11. Równoległe obwody rezonansowe

Przy rezonansie prądów wypadkowa susceptancja obwodu jest równa zero

Częstotliwości (lub pulsacje), przy których zachodzą równości (4.70) lub (4.71) nazywamy częstotliwościami (pulsacjami) rezonansowymi. Przy częstotliwości rezonansowej napięcie i prąd na zaciskach obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, zatem obwód przyjmuje charakter rzeczywisty.

O jakości obwodu rezonansowego mówi współczynnik zwany dobrocią Q.

Definicja 4.11. Dobrocią obwodu rezonansowego Q nazywamy liczbę proporcjonalną do stosunku energii gromadzonej w elementach reaktancyjnych (energii pola elektrycznego i energii pola magnetycznego) w rezonansie do energii zamienianej na ciepło w czasie okresu przebiegu T

(4.72)

Dla dobrego obwodu współczynnik ten powinien przyjmować duże wartości np. kilkaset.

Obwody rezonansowe stosuje się w praktyce do filtrowania przebiegów o określonych częstotliwościach w urządzeniach radiotechnicznych oraz w układach wzmacniaczy selektywnych (wąsko pasmowych) i generatorów.

Rezonans napięć

Rozważmy rezonans napięć, który występuje w szeregowym obwodzie rezonansowym jak na rys.4.10. Na występujący w nim dodatkowo opór R składają się opory szeregowe strat cewki indukcyjnej R_L i kondensatora R_C oraz opór R₁ o małej wartości włączony do obwodu

Obwód analizujemy w stanie ustalonym przyjmując, że zasilany jest on z idealnego źródła SEM sinusoidalnie zmiennego E o regulowanej pulsacji w. Impedancja obwodu szeregowego (rys.4.10) jest

(4.74)

przy czym reaktancja obwodu i moduł impedancji są odpowiednio równe

(4.75)

(4.76)

Wykresy zależności (4.75) i (4.76) oraz R(w ) w funkcji w przedstawiono na rys. 4.12.

Rys.4.12. Zależności w funkcji składowych i modułu impedancji szeregowego obwodu R,L i C

Jak widać z rysunku istnieje pulsacja w ₀, przy której X( w ₀) = 0 . Jest nią pulsacja rezonansowa

(4.77)

Przy tej pulsacji obwód znajduje się w stanie rezonansu a impedancja ma charakter rzeczywisty o najmniejszym możliwym module

=

(4.78)

W rezonansie reaktancja indukcyjna obwodu równa się co do modułu reaktancji pojemnościowej. Wartość tej reaktancji oznaczamy wspólnym symbolem

(4.79)

i nazywamy oporem charakterystycznym.

O jakości obwodu rezonansowego decyduje dobroć Q. W oparciu o zależność (4.72) dobroć obwodu szeregowego wynosi

(4.80)

Od dobroci zależy również szerokość pasma przenoszenia obwodu rezonansowego (określanego dla spadku 3-dB)

(4.81)

Badając przebiegi napięć na elementach dla pulsacji rezonansowej w ₀ otrzymamy

(4.82)

Z ostatnich zależności widać, ze w rezonansie całe napięcie zasilające E odkłada się na oporze R, a napięcia na elementach reaktancyjnych działają wzdłuż jednej prostej w przeciwnych kierunkach i mają amplitudy Q razy większe od E_m. Napięcie na indukcyjności wyprzedza SEM E o kąt p /2, a na pojemności opóźnia się o kąt p /2. Ponieważ amplitudy napięć na indukcyjności i pojemności są wielokrotnie większe od E_m, to rezonans ten nosi nazwę rezonansu napięć.

Rezonans prądów

Rezonans prądów, który występuje w równoległych obwodach rezonansowych rozważymy na przykładzie obwodu z rys.4.11a. Na występujący w nim dodatkowo opór R składają się opory równolegle strat cewki indukcyjnej R_L i kondensatora R_C oraz opór R₁ o dużej wartości włączony do obwodu

(4.83)

Obwód zasilany jest z idealnego źródła prądowego, o sinusoidalnie zmiennej wydajności prądowej J i regulowanej pulsacji w. Admitancja obwodu równoległego (rys.4.11a) wynosi

(4.84)

przy czym konduktancja obwodu i moduł admitancji są odpowiednio równe

(4.85)

(4.86)

Przebiegi z rys.4.12. po zamianie oznaczeń są również wykresami zależności (4.85) i (4.86) oraz G(w) w funkcji w.

Pulsacja rezonansowa obwodu równoległego, wyznaczona z przyrównania susceptancji (4.85) do zera, przyjmuje wartość

(4.87)

Przy tej pulsacji obwód znajduje się w stanie rezonansu, a admitancja ma charakter rzeczywisty o najmniejszym możliwym module

(4.88)

W rezonansie susceptancja indukcyjna obwodu równa się co do modułowi susceptancji pojemnościowej

(4.89)

i pozostaje słuszna zależność (4.79) definiująca opór charakterystyczny obwodu. Natomiast dobroć tego obwodu jest rozumiana jako

(4.90)

Przy tych warunkach szerokość pasma przenoszenia obwodu równoległego jest określona, tak samo jak dla obwodu szeregowego, zależnością (4.81). Prądy płynące w poszczególnych gałęziach w stanie rezonansu są równe

, ,

(4.91)

Jak łatwo zauważyć, w rezonansie całe wydajność prądowa J płynie przez opór R, a prądy w elementach susceptancyjnych działają wzdłuż jednej prostej w przeciwnych kierunkach i mają amplitudy Q razy większe od J_m. Prąd płynący w pojemności C wyprzedza wydajność prądową J o kąt p/2, a w indukcyjności L opóźnia się o kąt p/2. Mając na uwadze to, że amplitudy prądów na pojemności i indukcyjności są wielokrotnie większe od J_m, rezonans ten nazywamy rezonansem prądów.

Przykład 4.6. Z jednakowych elementów L i C zbudowano dwa obwody rezonansowe szeregowy i równoległy o częstotliwości rezonansowej f₀ = 10⁶/2p. Przyjmując wartości indukcyjności L = 1 mH i dobroci obu obwodów Q = 100, wyznaczyć wartości pojemności C i oporu R w obu obwodach.

Zgodnie z (4.77) i (4.87)

Opór charakterystyczny r = w ₀ L = 2 p f L = 10³ W,

stąd opór R dla obwodu szeregowego R = r/Q = 10 W, a dla równoległego R = Q r = 10⁵ W.