Fizyka dla Informatyków

Wykład 11: Optyka

Autor: R. Kotowski

Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
Katedra Metod Komputerowych Techniki
1  Wstęp
2  Optyka geometryczna
    2.1  Odbicie i rozpraszanie światła
    2.2  Załamanie światła
    2.3  Pryzmat: załamanie światła
        2.3.1  Wyznaczanie współczynnika załamania pryzmatu
    2.4  Pryzmat: rozszczepienie światła
    2.5  Całkowite odbicie
    2.6  Płytka płasko-równoległa
    2.7  Soczewki
3  Problemy do zastanowienia się

1  Wstęp

Jaka jest prawdziwa natura światła? Korpuskularna czy falowa? Istnieją zjawiska, np. fotoelektryczność i różne kolory światła, w których światło pokazuje swą naturę korpuskularną, czyli jakby światło było strumieniem cząstek. Ale inne zjawiska, takie jak interfrencja, dyfrakcja i załamanie światła bardzo trudno jest wytłumaczyć bez założenia o falowej naturze światła. Jak jest naprawdę? Fizyk odpowiada tak: to nie jest pytanie do mnie, mnie interesuje jaka teoria (model świata) najlepiej opisuje dane zjawisko.

Tabela 1:  Zjawiska falowe i kwantowe światła
/ Fale Kwanty
1. Interferencja Fotoelektryczność
2. Dyfrakcja Kolor
3. Refrakcja  

Tak więc, czy to pytanie dotyczy fizyki, a jeśli nie, to jakiej dziedziny nauki?

huygens
Rysunek 1:  Christian Huygens (1629 - 1695)

Christian Huygens (1629 - 1695) - holenderski astronom i matematyk. Został zmuszony do opuszczenia Paryża na podstawie Edyktu Nantejskiego. Został zaproszony do Francji przez Colberta, a podczas swego pobytu we Francji odwiedzał Anglię i uzyskał tytuł Fellow of the Royal Society. Huygens dał podstawy falowej teorii światła i skonstruował zegar wahadłowy. Udoskonalił teleskop i odkrył prawdziwy kształt pierścieni Saturna. Prowadzone przez niego obserwacje astronomiczne zachęciły go do udoskonalenia pomiaru czasu.

Edykt Nantejski, wydany w 1598 r. przez króla Francji Henryka IV Burbona, wprowadzał wolność wyznania i równouprawnienie protestantów wobec katolików. Mogli odtąd budować swe kościoły oraz szkoły, zamki, urzędy, szpitale czy uniwersytety. Hugonoci (francuscy kalwiniści) mieli swobodę kultu z wyłączeniem Paryża. Edykt zakończył wojny religijne na terenie Francji oraz uregulował sytuację hugonotów. Edykt ten dawał hugonotom prawo do wolności politycznej oraz szereg twierdz (odebranych w roku 1528).

Ludwik XIV odwołał edykt w 1685 roku, co spowodowało załamanie protestantyzmu we Francji jako organizacji kościelnej i siły politycznej. Pełnię praw hugonotom przyznała dopiero rewolucja francuska w 1789 i Kodeks Napoleona.

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Huygens/RouseBall/RB\_Huygens.html

Definicje - Jednostki wielkości optycznych

Tabela 2:  Jednostki wielkości optycznych
Wielkość Oznaczenie Opis
Światłość [cd] kandela
Strumień świetlny [lm] lumen = cd · sr
Ilość światła [lm·s] lumenosekunda=lm·s

2  Optyka geometryczna

Podstawowe założenia optyki geometrycznej:

CienieSlonca
Rysunek 2:  Cienie rzucane przez źródła światła: (a) wielkość źródła światła większa od rozmiaru przeszkody, widać półcienie; (b) wielkość źródła światła mniejsza od rozmiaru przeszkody

2.1  Odbicie i rozpraszanie światła

Odbicie1
Rysunek 3:  Padanie światła na powierzchnię: (a) gładką; (b) pofałdowaną
Odbicie2
Rysunek 4:  Padanie światła na powierzchnię: (a) dwa punkty A i B nad powierzchnią odbijającą; (b) możliwe tory promieni światła pomiędzy punktami A i B po odbiciu; (c) zastosowanie zasady Fermata

Pytanie 1: w jaki sposób światło może przebyć drogę od punktu A do punktu B? (patrz rys. 4(a))

Odpowiedź 1: po linii prostej łączącej te punkty.

Pytanie 2: a co będzie, gdy światło po drodze musi się jeszcze odbić od zwierciadła? (patrz rys. 4(b))

Odpowiedź 2: odpowiedź jest nieco bardziej skomplikowana. Jeden z możliwych torów pokazany jest linią ciągłą. Po tym torze światło najszybciej dociera do zwierciadła, a potem biegnie po linii prostej do punktu B. Jeśli przesuniemy punkt odbicia nieco w prawo (linia przerywana), to pierwszy odcinek ulegnie wydłużeniu, natomiast drugi skróci się. Całkowita droga też ulegnie skróceniu, a więc i czas potrzebny na przebycie tej drogi będzie krótszy.

Pytanie 3: gdzie leży prawdziwy punkt odbicia od zwierciadła? (patrz rys. 4(c))

Odpowiedź 3: po drugiej stronie zwierciadła zaznaczamy punkt B', leżący w takiej samej odległości od zwierciadła jak punkt B. Odcinek AB' przecina zwierciadło w punkcie C. To jest właśnie szukany prawdziwy punkt odbicia, gdyż droga z A do B przez C jest najkrótsza, a wiec i najszybsza.

Analiza rys. 4(c) prowadzi do jeszcze jednego wniosku:

kąt padania jest równy kątowi odbicia

(patrz rys. 3a: kąt αjest równy kątowi β).

2.2  Załamanie światła

Zalamanie1
Rysunek 5:  Załamanie światła: (a) ku prostopadłej (α>β) ; (b) od prostopadłej (α<β)

Promień świetlny przemieszczający się w ośrodku materialnym 1 z prędkością v1 i padający na na granicę z innym ośrodkiem materialnym 2, w którym ma prędkość v2 (np. z powietrza do wody), ulega częściowemu odbiciu, a reszta ulega załamaniu (następuje zmiana kierunku propagacji, patrz rys. 5). Kąt β, zawarty pomiędzy kierunkiem promienia a normalną do powierzchni załamania, nazywamy kątem załamania, a promień w ośrodku 2 - promieniem załamanym.

Ważne: promień padający, normalna do powierzchni i promień załamany leżą w jednej płaszczyźnie.

Prawo załamania (Snellius, 1621)

sin α sin β = v 1 v 2 = n 2 n 1 = n 2 , 1 (1) 
n 1 = c v 1 , n 2 = c v 2 , (2) 

gdzie ni - współczynnik załamania światła w ośrodku i, c - prędkość światła w próżni. W próżni współczynnik załamania n0=1, więc przy przejściu światła z próżni do ośrodka o współczynniku załamania n, mamy

sin α = n sin β , (3) 

gdzie n - bezwzględny współczynnik załamania.

2.3  Pryzmat: załamanie światła

Pryzmat
Rysunek 6:  Załamanie promienia światła w pryzmacie

Pryzmat - ciało przezroczyste, w przekroju trójkąt równoramienny (wycięty z równoległościanu).

ϕ - kąt łamiący pryzmatu (kąt rozwarcia trójąta);

ψ - kąt odchylenia;

n 1 - współczynnik załamania pryzmatu;

n 2 - współczynnik załamania otaczającego środowiska.

(na ogół n2<n1)

Z prawa Sneliusa wynika, że

n 2 sin α 1 = n 1 sin β 2 , n 1 sin β 2 = n 2 sin α 2 . (4) 

Z analizy trójkątów ABCi ACD wyciągamy wnioski, iż

ϕ = β 1 + β 2 , ψ = ( α 1 β 1 ) + ( α 2 β 2 ) = ( α 1 + α 2 ) ( β 1 + β 2 ) , (5) 
ψ = α 1 + α 2 ϕ . (6) 

Dla małych α i β (w radianach)

α 1 = n 1 n 2 β 1 , α 2 = n 1 n 2 β 2 , (7) 

i wtedy

ψ = n 1 n 2 ϕ ϕ = ( n 1 n 2 1 ) ϕ . (8) 

Dla powietrza n21, więc

ψ = ( n 1 1 ) ϕ . (9) 

2.3.1  Wyznaczanie współczynnika załamania pryzmatu

Minimalne odchylenie promienia zachodzi dla α1=α2=α i oczywiście β1=β2=β, czyli 2β=ϕ (symetryczny bieg promieni)

ψ min = 2 α 2 β = 2 α ϕ . (10) 

Znamy: ψmin i ϕ, skąd wynika, że

α = ψ min + ϕ 2 , β = ϕ 2 , (11) 
n 1 = n = sin α sin β = sin ψ min + ϕ 2 sin ϕ 2 . (12) 

Dla małych ϕ mamy ψ=(n1)ϕ,

n pryzmat = ψ min ϕ + 1 . (13) 

2.4  Pryzmat: rozszczepienie światła

Newton (1666): światło białe (słoneczne) jest mieszaniną różnokolorowych promieni. Promień światła przechodząc przez pryzmat ulega rozszczepieniu.

Rozszczepienie
Rysunek 7:  Rozszczepienie światła

Barwa światła zależy od długości fali, a więc każdej długości fali odpowiada inny współczynnik załamania.

Miara zdolności rozszczepiających materiałów: różnica współczynników załamania promieni czerwonych i fioletowych (średnia dyspersja pryzmatu).

Miara zdolności łamiących pryzmatu: wartość współczynnika załamania promienia żółtego.

2.5  Całkowite odbicie

Gdy promień świetlny przechodzi z ośrodka optycznie gęstszego (woda, szkło) o współczynniku załamania n1 do ośrodka rzadszego optycznie (powietrze) o współczynniku załamania n2, to zgodnie z prawem Snelliusa

n 1 sin α = n 2 sin β . (14) 

Ponieważ n2<n1,więc sinα<sinβ, czyli α<β. Coraz większym kątom α odpowiadają coraz większe kąty β, ale zawsze α<β. Kąt α, dla którego kąt załamania β=90nazywamy kątem granicznym. Dla kątów większych od kąta granicznego zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie.

Przy przejściu światła z wody (n11.33) do powietrza (n21)

sin α gr = 1 n 1 = 0.748 , (15) 

czyli dla wody αgr4830' .

WewnOdbicie
Rysunek 8:  Wewnętrzne odbicie

Swiatlowod
Rysunek 9:  Światłowód

ZastPryzmatu
Rysunek 10:  Zjawisko całkowitego odbicia w pryzmacie: (a) zmiana kierunku biegu promieni o 90; (b) zmiana kolejności biegu promieni (pryzmat Amici)

2.6  Płytka płasko-równoległa

Plytka
Rysunek 11:  Załamanie promienia światła w płytce płasko-równoległej

Z prawa Snelliusa

n 1 sin α = n 2 sin β , n 2 sin β = n 1 sin γ . (16) 

Widać, że α=γ. Przesunięcie promienia AB zależy od grubości płytki d, od kąta padania α i od współczynników załamania n1 i n2

AB = d sin ( α β ) cos β . (17) 

2.7  Soczewki

Soczewki

Soczewki
Rysunek 12:  Przykłady soczewek: (a) i (b) soczewki skupiające; (c) soczewka rozpraszająca

Lupa

SoczewkaSkup
Rysunek 13:  Przykłady użycia soczewki skupiającej: (a) przedmiot w odległości większej od ogniskowej soczewki; (b) przedmiot w odległości mniejszej od ogniskowej soczewki
SoczewkaRozpr
Rysunek 14:  Bieg promieni w soczewce rozpraszającej

Lupa
Rysunek 15:  Bieg promieni w lupie

Lupa: soczewka skupiająca o małej ogniskowej f (dużej zdolności skupiającej 1/f). Przedmiot PN ustawia się miedzy ogniskiem a soczewką tak, aby obraz P'N' (urojony, powiększony, prosty) powstał w odległości dobrego widzenia oka d, znajdującego się po drugiej stronie soczewki i blisko niej (Rys. 15).

Powiększenie wynosi

w = P ' N ' PN = d x . (18) 

Ze wzoru soczewkowego

1 x + 1 y = 1 f , (19) 
x = f d d f . (20) 
w = d x = d f f = d f 1 d f . (21) 

Obraz powstaje po tej samej stronie soczewki co przedmiot, więc x>0, f>0, ale d<0. W związku z tym w<0, czyli obraz jest urojony, nie odwrócony, ponieważ |w|>1. Obraz jest tym bardziej powiększony im mniejsza jest ogniskowa. Np., lupa o ogniskowej f=5cm daje sześciokrotne powiększenie

| w | = | 25 5 1 | = 6 .

Aby uzyskać powiększenie 11-krotne, należy użyć lupy o ogniskowej f=2.5 cm.

Koniec wykładu 11

3  Problemy do zastanowienia się

1. Odpowiedz na pytania:

i. Jaka jest prawdziwa natura światła: falowa czy korpuskularna? Ile czasu trwa już dyskusja na ten temat?

ii. Kiedy pojawiają się półcienie?

iii. Czy w zjawisku załamania światła kąt załamania może być większy od kąta padania?

iv. Dlaczego w pryzmacie następuje rozszczepienie światła?

v. Jakie zjawisko wykorzystuje się w światłowodach?

vi. Jaki jest związek ofniskowej soczewki z uzyskiwanym za jej pomocą powiększeniem?

2. Sformułuj podstawowe prawa optyki geometrycznej.

3. Wyprowadź wzór na wspólczynnik załamania pryzmatu.

4. Wyprowadź wzór na przesunięcie promienia w płytce płasko-równoległej.