»poprzedni punkt | następny punkt » |
Para uporządkowana, jest to układ (x,y) dwóch obiektów, w których x jest poprzednikiem pary, a y następnikiem. Oczywiście, mając jakiekolwiek dwa obiekty możemy zawsze utworzyć parę uporządkowaną wskazując, który z nich jest poprzednikiem, a który jest następnikiem. Na przykład, Kubuś Puchatek i jego Pan tworzą znaną parę uporządkowaną (Kubuś, Krzyś).
Parę uporządkowaną należy odróżnić od, po prostu, pary elementów lub zbioru dwuelementowego. {Kubuś, Krzyś} jest dwuelementowym zbiorem, w którym żaden z elementów nie jest w żaden sposób wyróżniony, nie mamy ustalonej kolejności obiektów. W parze uporządkowanej (Kubuś, Krzyś) kolejność jest istotna: Kubuś jest poprzednikiem, a Krzyś następnikiem w tej parze uporządkowanej.
W 1921 roku Kazimierz Kuratowski, podał definicję pary uporządkowanej (x, y) jako zbioru, którego elementami są dwa zbiory: jednoelementowy {x} i dwuelementowy {x, y},
(x, y) = df { {x}, {x, y}}
Takie pojęcie pary uporządkowanej jest zgodne z warunkiem równości par uporządkowanych : dwie pary uporządkowane (x,y) i (x', y') są równe, gdy mają równe zarówno poprzedniki jak i następniki
(x, y) = (x', y') wttw x = x' i y = y'
Wynika stąd, że
(Kubuś, Krzyś) ¹ (Krzyś, Kubuś)
Definicja 2.1.1
Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y, oznaczanym przez X ´ Y, nazywamy zbiór złożony z wszystkich par uporządkowanych (x,y) takich, że x Î X i y Î Y,
(x, y) Î X ´ Y wttw x Î X i y Î Y.
Z tej definicji wynika, że jeśli jeden ze zbiorów jest pusty, to produkt X ´ Y też jest zbiorem pustym, bo nie można utworzyć ani jednej pary uporządkowanej. Jeśli natomiast X ma m elementów, a Y n elementów, to można utworzyć nm różnych par.
Pytanie 2.1.1: Czy dla dowolnych zbiorów X ´ Y = Y ´ X ?
Zobacz odpowiedźPrzykład 2.1.1
Rys. 2.1.1 Iloczyn kartezjański zbiorów X=[3,6] i Y=[2,4].
W lemacie przedstawionym poniżej zanotujemy związki iloczynu kartezjańskiego z innymi operacjami na zbiorach.
Lemat 2.1.1
Dla dowolnych zbiorów X, A, B zachodzą równości:
X ´ (A È B) = (X ´ A) È (X ´ B),
X ´ (A Ç B) = (X ´ A) Ç (X ´ B),
X ´ (A \ B) = (X ´ A) \ (X ´ B).
Dowody takich własności najczęściej przeprowadza się pokazując, że uporządkowana para (x, y) należy do lewej strony równości wtedy i tylko wtedy, gdy należy do prawej strony równości. Dla przykładu rozważmy trzecią z równości: (x, y)Î X´ (A\B) wttw x Î X i y Î (A \ B) wttw x Î X , y Î A i y Ï B wttw : (x, y) Î (X ´ A) i : (x, y) Ï (X ´ B) wttw (x, y) Î (X ´ A) \ (X ´ B).
Nie będziemy tu prezentować dokładnych dowodów pozostałych równości, natomiast posłużymy się ilustracją na płaszczyźnie, by przekonać czytelnika o słuszności drugiej z równości, por Rys. 2.1.2. Niech X będzie pewnym zbiorem zaznaczonym na osi odciętych, a A i B pewnymi podzbiorami zaznaczonymi na osi rzędnych. Lewa strona równości wymaga najpierw wyliczenia przecięcia A Ç B, co daje w wyniku prostokąt zaznaczony na rysunku 2.1.2a. Prawa strona równości wymaga policzenia osobno iloczynów X ´ A i X ´ B, a potem wyliczenia ich przecięcia, por. Rys. 2.1.2b. Otrzymane zbiory są identyczne.
Rys. 2.1.2 Ilustracja graficzna równości X ´ (A Ç B) = (X ´ A) Ç (X ´ B).
Zadanie 2.1.1
Udowodnić równość zbiorów X ´ (A È B) = (X ´ A) È (X ´ B).
»poprzedni punkt | następny punkt » |