« poprzedni punkt | następny punkt » |
Relacje dwu-członowe są podzbiorami produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów. Relacje n-argumentowe są podzbiorami produktu kartezjańskiego n zbiorów. Przykładem produktu kartezjańskiego trzech elementów jest przestrzeń euklidesowa R3 (R ´ R ´ R), której elementami są trójki liczb rzeczywistych oznaczające np. punkty w przestrzeni trójwymiarowej.
Przykład 2.5.1
Rys. 2.5.1 Tabelka relacji wieloargumentowej.
Niech X1, X2, ..., Xn będą dowolnymi zbiorami, a n liczbą naturalną. Przez produkt tych zbiorów rozumiemy zbiór X1 ´ X2 ´ ... ´ Xn składający się z uporządkowanych n-tek elementów postaci (x1, x2, ...,xn), gdzie xi Î Xi dla i = 1,2...,n. Dwie n-tki (x1, x2, ...,xn) i (y1, y2, ...,yn), są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie pozycje są równe, tzn. xi = yi, dla i =1,...n.
Lemat 2.5.1
Jeśli zbiór Xi ma ki elementów, to produkt kartezjański X1 ´ X2 ´ ... ´ Xn ma k1 * k2 *... * kn elementów.
Nieformalnie, dla każdego wyboru elementu z pierwszego zbioru możemy wybrać dowolny układ elementów z pozostałych zbiorów. Pierwszy element możemy wybrać na k1 sposobów, zatem wynik musi być równy k1*(liczba możliwych układów (n-1) -elementowych ze zbiorów X2 ´ ... ´ Xn. Dowód lematu jest dość prosty ale wymaga rozumowania indukcyjnego, o którym będzie mowa w dalszej części wykładu (por. wykład V).
Definicja 2.5.1
Każdy podzbiór zbioru X1 ´ X2 ´ ... ´ Xn nazywamy n-argumentową (inaczej n-członową) relacją. Zbiór Xi nazywa się i-tą dziedziną relacji n-członowej.
Jeśli r jest relacją n członową w produkcie X1 ´ X2 ´ ... ´ Xn , to zamiast (x1, x2, ..., xn) Î r , piszemy często r(x1, x2, ..., xn).
Przykład 2.5.2
Pytanie 2.5.1: Z ilu co najwyżej par uporządkowanych może składać się relacja binarna określona w pewnym zbiorze 100 elementowym?
« poprzedni punkt | następny punkt » |