następny punkt »


1. TWIERDZENIE O PRAWDOPODOBIEŃSTWIE CAŁKOWITYM

Definicja

Zdarzenia B1, B2,..., Bk tworzą podział przestrzeni zdarzeń elementarnych S( układ zupełny zdarzeń), jeśli Bi Ç Bj = Æ dla i ¹ j, oraz B1 È B2 È ... È Bk = S.

Twierdzenie (o prawdopodobieństwie całkowitym)

Jeśli zdarzenia B1, B2,..., Bk tworzą podział przestrzeni zdarzeń elementarnych S oraz
P(Bi) > 0, i = 1, 2, ..., k to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A dane jest wzorem
     
nazywanym wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.

Dowód

Niech A będzie zdarzeniem, a B1, B2,..., Bk podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych S. Wówczas wykorzystując własności działań na zbiorach otrzymujemy równości zdarzeń:

A = A Ç S = A Ç (B1 È B2 È ... È Bk) = (A Ç B1) È (A Ç B2) È ... È (A Ç Bk).

Zdarzenia układu zupełnego zdarzeń wzajemnie wykluczają się, więc zdarzenie A jest sumą zdarzeń wzajemnie wykluczających się. Na mocy aksjomatu (A3) prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wzajemnie wykluczających się jest sumą prawdopodobieństw tych zdarzeń. Zatem otrzymujemy wzór:

który kończy dowód. W ostatniej równości zastosowaliśmy twierdzenie o prawdopodobieństwie iloczynu zdarzeń.

Interpretacja i zastosowanie: Zdarzenia B1, B2,..., Bk nazywamy niekiedy przyczynami (np. jeśli są one jedynymi możliwymi i wzajemnie wykluczającymi się wynikami pierwszego etapu doświadczenia wieloetapowego), a zdarzenie A skutkiem. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite pozwala obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli znane są prawdopodobieństwa przyczyn oraz prawdopodobieństwa warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia każdej z przyczyn.

Przykład

Bank zakupił 100 drukarek trzech różnych firm, powiedzmy firm X, Y, Z. Wśród nich jest 10 drukarek firmy X, 40 firmy Y, oraz 50 firmy Z. Wiadomo, że 5% drukarek firmy X ulega awarii w okresie gwarancji, natomiast wśród drukarek produkowanych zarówno przez firmę Y jak i firmę Z 3% drukarek ulega awarii w okresie gwarancji.

Obliczymy prawdopodobieństwo, że wybrana losowo drukarka spośród zakupionych ulegnie awarii w okresie gwarancji.

Oznaczmy zdarzenia:

A = zdarzenie, że losowo wybrana drukarka ulegnie awarii w okresie gwarancji

B1, B2, B3 niech oznaczają zdarzenia, że losowo wybrana drukarka jest produkcji firmy X, Y, Z, odpowiednio. Zdarzenia B1, B2, B3 tworzą układ zupełny zdarzeń. Z treści zadania mamy:

P(B1) = 0,1, P(B2) = 0,4, P(B3) = 0,5, oraz

P(A|B1) = 0,05, P(A|B2) = 0,03, P(A|B3) = 0,03.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite, przy k=3, ma postać

P(A) = P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + P(A|B3) P(B3) .

Stąd P(A) = 0,05·0,1 + 0,03·0,4 + 0,03·0,5 = 0,032.

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana drukarka ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,032.

Pytanie kontrolne

Podczas kontroli jakości produkowanych elementów powstają błędy polegające na tym, że element wadliwy może być zaklasyfikowany jako dobry, a element dobry jako wadliwy. Wiadomo, że 2% elementów wadliwych klasyfikowanych jest jako dobre, a 4% elementów dobrych klasyfikuje się jako wadliwe. Ogółem, 10% produkowanych elementów jest wadliwych. Oblicz prawdopodobieństwo, że badany element zostanie źle zaklasyfikowany podczas kontroli jakości.

Zobacz odpowiedź


 następny punkt »