Twierdzenie (o objętości bryły obrotowej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to objętość bryły obrotowej V powstałej przez obrót wokół osi Ox wykresu funkcji y = f(x), dla xÎ [a, b], wynosi
 |
| « poprzedni punkt | następny punkt » |
Twierdzenie (o objętości bryły obrotowej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to objętość bryły obrotowej V powstałej przez obrót wokół osi Ox wykresu funkcji y = f(x), dla xÎ [a, b], wynosi
|
Przykład
Obliczymy objętość elipsoidy obrotowej, tzn. bryły powstałej z obrotu elipsy o równaniu
wokół osi Ox.
Rys. 10.8
Z rys. 10.8 widać, że objętość elipsoidy jest równa podwojonej objętości bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox, zaznaczonej ćwiartki elipsy.
Ponieważ
objętość elipsoidy obrotowej wynosi
Pytanie kontrolne 10.4
Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu dookoła osi Ox figury ograniczonej liniami
Twierdzenie (o polu powierzchni bryły obrotowej)
Jeżeli funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b], to pole powierzchni bryły obrotowej S, powstałej przez obrót wokół osi Ox wykresu funkcji y = f(x), dla xÎ [a, b], wynosi
 |
Przykład
Obliczymy objętość i pole powierzchni bocznej kuli o promieniu 1, traktując ją jako bryłę obrotową powstałą w rezultacie obrotu wykresu funkcji 
, dla xÎ
[-1, 1], wokół osi Ox.
Objętość kuli
Pole powierzchni kuli
Pytanie kontrolne 10.5
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywej y = tgx na przedziale [0, p /4].
Zobacz odpowiedźUwaga
Twierdzenia dotyczące zastosowań geometrycznych całki oznaczonej zostały sformułowane przy założeniu, że występujące w nich krzywe są wykresami pewnych funkcji. Można podać analogiczne twierdzenia również dla krzywych zadanych parametrycznie, bądź wyrażonych w układzie współrzędnych biegunowych.
| « poprzedni punkt | następny punkt » |