« poprzedni punkt | następny punkt » |
Następujące twierdzenie zwane "zasadą abstrakcji" lub "zasadą identyfikacji elementów równoważnych" ustala związek pomiędzy pojęciem podziału a relacją równoważności.
Twierdzenie 5.4.1 Zasada abstrakcji
Niech [X] oznacza zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji ~ w zbiorze X, tzn.[X] = { [x] : x Î X}. Zbiór [X] jest podziałem zbioru X w sensie definicji 5.3.1 jak głosi zasada abstrakcji, bo
Jeśli dany jest podział (Xi)iÎI niepustego zbioru X , to przyjmując
x ~ y wttw istnieje takie k Î I, że xÎ Xk oraz y Î Xk
definiujemy pewną relację równoważności.
Własność zwrotności relacji ~ wynika z faktu, że każdy element zbioru X należy do jakiegoś zbioru podziału (Xi)iÎI. Własność symetrii jest oczywista z samej definicji relacji ~. Własność przechodniości wynika z faktu, że zbiory podziału są rozłączne. Gdyby więc x,y Î Xn, a y, zÎ Xm, to musiałoby być n=m, czyli x i z muszą należeć do tego samego zbioru podziału.
Pytanie 5.4.1: Czy można zdefiniować tak relację równoważności w niepustym zbiorze X, by jedna z jej klas była pusta?
Przykład 5.4.1
Pytanie 5.4.2: Rozważmy relację równoliczności » w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych (określoną w przykładzie 5.4.1) i klasy abstrakcji tej relacji. Które z podanych zdań są prawdziwe?
(a) N Î [P]
(b) P Î [N]
(c) {2} Î [P]
(d) {1,2,3,4,5,6} » {1,3,5,7,11,13}
Zadanie 5.4.1
Niech m będzie ustaloną liczbą naturalną różną od zera. Udowodnić, że relacja r określona dla dowolnych x, y Î N:
x r y wttw liczba całkowita (x-y) jest podzielna przez m,
jest relacją równoważności i wskazać jej klasy abstrakcji.
Rozwiązanie: Ponieważ 0 ( = x-x) jest podzielne przez każdą liczbę naturalną >0, więc relacja jest zwrotna. Relacja jest symetryczna, bo jeśli x-y = km, to y-x = (-k)m. Relacja r jest przechodnia, bo gdy (x-y) jest podzielne przez m i (y-z) jest podzielne przez m, to dla pewnych k i k' całkowitych mamy : x-y = km oraz y-z = k'm. Jeśli dodamy stronami te równości, to otrzymamy x-z = (k+k')m, czyli x-z jest też podzielne przez m. Relacja ta ma m klas abstrakcji postaci [i]={km+i: kÎN} dla i=0,1,...,m-1.
« poprzedni punkt | następny punkt » |