Niech X będzie dowolnym zbiorem. Każdy podzbiór A zbioru X wyznacza pewną własność W przysługującą jedynie elementom zbioru A zgodnie z definicją:

Zamiast 'x ma własność W' piszemy też krótko W(x). Na przykład, zbiór A= {2i+1: i N} jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych, wyróżniającym się tym, że należą do niego tylko liczby nieparzyste. Zbiór A określa więc własność W= 'być liczbą nieparzystą'

O własnościach wyznaczonych przez pewien podzbiór zbioru będziemy mówili, że są to relacje jednoczłonowe.

Rozważmy teraz sytuację, w której zbiór X jest sam produktem dwóch zbiorów, np.: X = Y ´ Z. Każdy podzbiór A takiego zbioru X składa się z par uporządkowanych (y, z) takich, że y Î Y i z Î Z. Wyznacza on pewną własność W dotyczącą par uporządkowanych

Inaczej mówiąc, W określa zależność między elementami zbiorów Y i Z. Na przykład, zbiór A= {(i, j) Î N ´ N : i < j}, podzbiór iloczynu kartezjańskiego N ´ N, wyznacza zależność W między liczbami naturalnymi polegającą na tym, że W(i, j) wttw drugi element pary (i, j) jest większy niż pierwszy element pary.

Przykład 2.2.1

1. Między liczbami naturalnymi 2 i 6, 2 i 8, 5 i 15, 6 i 24 i ogólnie liczbami postaci n i k* n , zachodzi zależność zwana relacją podzielności. Relacja podzielności, oznaczana przez |, jest relacją dwuczłonową przysługującą parom liczb naturalnych (x, y) wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dzielnikiem y, tzn. x | y wttw wynik dzielenia y przez x jest liczbą naturalną.
2. Niech X będzie zbiorem pewnych produktów spożywczych, a Y zbiorem liczb rzeczywistych. W zbiorze par uporządkowanych X ´ Y możemy określić relację CENNIK: para (x, y) Î CENNIK wttw cena produktu x wynosi y złotych.
3. Niech X będzie zbiorem miast w Polsce i Y =X. Określimy w X relację binarną r taką, że (x, y) Î r wttw istnieje droga łącząca miasta x i y.

Przykład 2.2.2

1. W zbiorze R, wszystkich liczb rzeczywistych, określimy relację binarną r: para (x,y) Î r wttw x jest kwadratem liczby rzeczywistej y. Dziedzinę tej relacji stanowi zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną jest natomiast zbiór R.
2. Niech A będzie dowolnym zbiorem. Inkluzja, określona na podzbiorach zbioru A jest relacją dwuczłonową, której dziedziną i przeciwdziedziną jest zbiór potęgowy P(A).

Relacje dwuczłonowe określone w zbiorze R, można przedstawić geometrycznie jako zbiór punktów na płaszczyźnie, tak jak to było w przypadku podzbiorów produktu kartezjańskiego. Takie graficzne przedstawienie relacji nazywamy wykresem relacji.

Rozważmy jako przykład relację r₁:

Wykresem tej relacji jest zbiór punktów spełniających warunek y = x², czyli parabola, por. Rys. 2.2.1. Dziedzinę relacji r stanowią wszystkie liczby rzeczywiste, a przeciwdziedzinę, zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

Rys. 2.2.1 Wykres relacji (x,y) Î r₁ wttw y= x².

Pytanie 2.2.1: Niech będzie relacja r określona w zbiorze liczb rzeczywistych warunkiem (x,y) Î r wttw x ² + y ² = 4. Co jest wykresem relacji r? Określ dziedzinę i przeciwdziedzinę relacji r.

Każdą relację binarną r w skończonym produkcie X ´ Y można przedstawić w postaci macierzy (tablicy) dwuwymiarowej, której wiersze są oznaczone elementami zbioru X, a kolumny elementami zbioru Y.

Fakt, że para (x, y) należy do relacji zaznaczamy na pozycji (i, j) jakimś specjalnym znakiem, np. 1, true, +. Tak zbudowaną tablicę nazywamy macierzą relacji.

Przykład 2.2.3

Niech X = {1,2,3,4} i Y = {5,6,7,8,9}. Wtedy relację r Í X ´ Y taką, że

można przedstawić jako macierz M(4´ 5) przedstawioną na rysunku Rys. 2.2.2. Macierz M ma 4 wiersze i 5 kolumn oznaczonych odpowiednio elementami zbiorów X i Y. Element znajdujący się na przecięciu itego wiersza i jtej kolumny M(i,j) wskazuje, czy para (i,j) należy, czy nie należy do relacji:

W tym konkretnym przykładzie (2,6), (2,8), (4,8) itd. należą do relacji r, natomiast (2,7) i (2,9) nie należą do relacji r, i dlatego nie zostały zaznaczone odpowiadające tym parom pola.

Rys. 2.2.2 Macierz relacji (x, y) Î r wttw x jest dzielnikiem y.

Innym sposobem reprezentowania graficznego relacji jest graf. Jest to rysunek składający się z węzłów, zaznaczonych na płaszczyźnie jako np.: punkty lub małe kółeczka, i krawędzi, zaznaczonych jako strzałki łączące węzły. Obowiązuje zasada:

Ten rodzaj reprezentacji relacji dwuczłonowej można stosować w przypadku, gdy zbiory, w których określona jest relacja, są małe.

Uwaga. W dalszym ciągu wykładu, grafy będą najczęściej stosowanym sposobem reprezentowania różnych pojęć i dlatego poświęcimy im osobny wykład.

Przykład 2.2.4

Rozważmy relację z przykładu 2.2.3. Graf tej relacji przedstawiamy na rysunku 2.2.3a i 2.2.3b. Kształt węzłów lub strzałek oraz miejsce umieszczenia węzłów na płaszczyźnie nie mają szczególnego znaczenia dla samej relacji, są jednak istotne ze względu na czytelność rysunku.

Rys. 2.2.3 Graf relacji (x, y) Î r wttw x jest dzielnikiem y.