« poprzedni punkt   następny punkt »


10.5. Porównywanie liczb kardynalnych

Definicja 10.5.1

Powiemy, że liczba kardynalna m jest mniejsza lub równa liczbie kardynalnej n, m £ n wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zbiory X i Y, takie że X Í Y oraz |X|= m, |Y|= n.

Powiemy, że liczba kardynalna m jest mniejsza niż liczba kardynalna n, co zapisujemy w postaci m<n, wtedy i tylko wtedy gdy m£n oraz n¹m.

Zauważmy, że relacja £ pokrywa się, ze znaną nam relacją w zbiorze liczb naturalnych.

Wniosek Ponieważ zbiór liczb naturalnych N jest podzbiorem zbioru R, zatem alef0 £ c.

Następujący lemat ustala podstawowe własności liczb kardynalnych.

Lemat 10.5.1

Dla dowolnych liczb kardynalnych n, m, u,

  1. n £ n
  2. jeśli m £ n i n £ u , to m £ u,
  3. jeśli m £ n i n £ m, to n= m (Twierdzenie Cantora-Bernsteina).

Lemat 10.5.2

Jeśli istnieje funkcja odwzorowująca A na B, to |B| £ |A|.

Dowód.

Niech f będzie funkcją odwzorowującą A na B: A ® B. Wtedy dowolna funkcja g : B ® A taka, że g(b) Î f-1({b}) dla b Î B jest funkcją różnowartościową odwzorowującą B w A.

Rzeczywiście, g(b) zgodnie z przyjętym warunkiem, należy do A dla wszystkich b Î B. Ponieważ f jest odwzorowaniem na B (czyli każde b Î B jest obrazem jakiegoś elementu z A), więc f -1({b}) jest zbiorem co najmniej jednoelementowym dla wszystkich b. Wynika stąd, że funkcja g jest dobrze określona dla wszystkich b Î B. Ponadto, jeśli b1 ¹ b2, to
g(b1) Î f-1({b1}) i g(b2) Î f -1({b2}). Ponieważ zachodzą równości

{a Î A: f(a) = b1}Ç { a Î A: f(a) = b2} = f -1({b1}) Ç f -1({b2})= Æ,

więc g(b1) ¹ g(b2). To oznacza, że g jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór B na podzbiór zbioru A. Na mocy definicji, |B| £ |A|.

Przykład 10.5.1

(1) Zbiór punktów płaszczyzny R2 zawartych w kwadracie (0,1)´ (0,1) ma moc c, bo c = |(0,1)| £ |(0,1)´ (0,1)| £ |R2| = c .

(2) Nieskończony zbiór K parami rozłącznych odcinków położonych na prostej, o końcach w punktach o współrzędnych wymiernych ma moc alef0. Rzeczywiście, każdemu odcinkowi ze zbioru K możemy przyporządkować parę liczb wymiernych będących jego końcami. W ten sposób ustalimy odwzorowanie różnowartościowe ze zbioru K w zbiór Q*Q, a więc |K| £ |Q2|. Z drugiej strony, |N| £ |K|. Ostatecznie, K jest zbiorem przeliczalnym.


« poprzedni punkt   następny punkt »