Definicja 10.4.1

Liczba kardynalna zbioru, czyli moc zbioru, jest cechą przypisaną zbiorowi w taki sposób, że

(1) liczba kardynalna zbioru pustego to 0 (zero),

(2) liczba kardynalna dowolnego zbioru skończonego, to liczba jego elementów,

(3) dwa zbiory mają przypisaną tę samą cechę wtedy i tylko wtedy, gdy są równoliczne.

Dla dowodu, załóżmy, że f jest funkcją ustalającą równoliczność zbiorów X i Y i niech g: P(X) ® P(Y) w taki sposób, że g(A)=^df {yÎY : f(x)=y dla pewnego x Î A} dla wszystkich podzbiorów A zbioru X.

Funkcja g jest różnowartościowa. Rzeczywiście, jeśli A¹A', A,A'Î P(X), to istnieje element a należący do jednego zbioru np. aÎA i nie należący do drugiego, a Ï A'. Niech b = f(a). Wtedy b Î g(A), ale bÏg(A') (gdyż w przeciwnym przypadku istniałby element a 'Î A', taki że f(a')=b, czyli f nie byłaby różnowartościowa). Zatem g(A) ¹g(A').

Funkcja g jest odwzorowaniem na P(Y), bo dla dowolnego B Î P(Y), zbiór f ^-1(B) Í X, oraz g(f ^-1(B)) = B.

Wynika stąd, że g ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między P(X) i P(Y), czyli |P(X) | = |P(Y)|.

Moc zbioru liczb naturalnych przyjęto oznaczać pierwszą literą alfabetu hebrajskiego alef₀, a moc zbioru liczb rzeczywistych literą gotycką c (continuum).

(1) Zbiór wszystkich odcinków położonych na osi liczb rzeczywistych, o końcach w punktach wymiernych, jest mocy alef₀.

Uzasadnienie: Każdy odcinek możemy jednoznacznie scharakteryzować przez podanie jego punktów końcowych. Określimy funkcję f, która każdemu odcinkowi z naszego przykładu, przypisuje parę liczb wymiernych odpowiadającą lewemu i prawemu końcowi odcinka. Ustaliliśmy w ten sposób wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między zbiorem odcinków, a zbiorem par liczb wymiernych. Ponieważ zarówno zbiór liczb wymiernych Q jak i Q² są zbiorami nieskończonymi przeliczalnymi zatem, zbiór odcinków na prostej o kończch wymiernych ma moc alef₀.

(2) Przedział otwarto-domknięty jest mocy cotinuum. Weźmy funkcję f odwzorowującą zbiór {1/n}_n=2,3,4,... na zbiór {1/n}_n
=1,2,3,... f(1/n) = 1/(n-1) dla n = 2,3,4,.... Niech g: (0,1)® (0,1], tak, że g(1/n) = f(1/n) dla n = 2,3,4...oraz g(x)= x dla x Ï {1/2,1/3,1/4,...}. Tak określona funkcja g jest różnowartościowa, bo zarówno f jak i funkcja identycznościowa są różnowartościowe. Co więcej, funkcja g odwzorowuje przedział (0,1) na przedział (0,1]. Zatem |(0,1]| = |(0,1)| = |R| = c.

(4) Jeśli A jest zbiorem mocy alef₀, a B zbiorem mocy c, to produkt A ´ B ma moc c.

Niech (a₀,a₁,a₂,...) będzie nieskończonym ciągiem wszystkich elementów zbioru A. Ponieważ dowolne dwa przedziały zbioru liczb rzeczywistych są równoliczne i mają moc c, zatem istnieją bijekcje f₀: {(a₀, b) : b ÎB} ® (0, 1] , f₁ : {(a₁, b) : b Î B} ® (1, 2] itd. f_i : {(a_i, b) : b Î B}® (i, i+1]. Przyjmując f((a_i, b)) = f_i (b) zdefiniujemy wzajemnie jednoznaczną funkcję odwzorowującą zbiór A ´B na R₊. Ponieważ |R₊| = |R| = c, więc |A ´ B| = c.

Na mocy rozważań w poprzednim punkcie i przyjętych definicji zbiór liczb naturalnych jest przeliczalny, a zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Stąd wniosek c ¹ alef₀.